CÁLCULO APLICADO - DERIVADAS

Revisando Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real

Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f′(x) é a nova função que, em um determinado ponto x, o valor da derivada, se o limite existir, é definido por:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}$$

Assim, se o limite existe para x=a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a função f derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números do intervalo.

Exemplo: Determine $f^{\prime }(x)$ se $f(x)=x^{²}$

Solução: pela definição apresentada, $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}.$$

Como: $$\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}=2x+h,h\ne <!--\ne -->0,$$

Segue que: $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}=2x$$

Portanto, $f^{\prime }(x)=2x$.

Usando a notação tradicional $y=f(x)$ para indicar que a variavel independente é x, e y é a variável dependente, então $y^{\prime }\frac{dy}{dx}$ e $\frac{df}{dx}$ são consideradas notações alternativas quando consideramos a derivada de f em relação a x.

O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua definição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras.

REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:

$${\left[x^n\right]}^{\prime }=n{x}^{n-<!----->1}.$$

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é uma função derivável, então:

$$[cf(x){]}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x).$$

REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:

$$f(x)+g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x).$$

REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com $g(x)\ne <!--\ne -->0$ , então:

$$[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$

REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:

$$[\frac{f(x)}{g(x)}],=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-<!----->f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$$

REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função composta $h=f\circ g$, definida por $h(x)=f(g(x))$ , será derivável em x, e h' será dada pelo produto:

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$$

Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:

$\frac{d}{dx}senx=cosx;$

$\frac{d}{dx}(cosecx)=-<!----->cosecxcotgx;$

$\frac{d}{dx}cosx=-<!----->senx;$

$\frac{d}{dx}(cotgx)=-<!----->cose{c}^{2}x;$

$\frac{d}{dx}tgx=se{c}^{2}x;$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x;$

$\frac{d}{dx}secx=secxtgx;$

$\frac{d}{dx}(lnx)=\frac{1}{x}.$

Exemplos

Derive:

a) $h(x)=5\frac{1}{x^2}.$

b) $f(x)=e^{x}x.$

c) $F(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}.$

d) $h(x)=sen(x^2+1).$

Solução:

a) Pelas regras da constante e da potência: $$h^{\prime }(x)=5(\frac{1}{t^2}{)}^{\prime }=-<!----->\frac{10}{t^3}.$$

b) Pela regra do produto, temos: $$f^{\prime }(x)=(e^x{)}^{\prime }x+e^x(x{)}^{\prime }=e^{x}x+e^x.$$

c) Pela regra do quociente: $$F^{\prime }(x)=\frac{(2x+3{)}^{\prime }{x}^2+1-<!----->2x+3(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-<!----->2x^2-<!----->6x+2}{(x^2+1{)}^2}.$$

d) Pela regra da cadeia, considerando $f(x)=senx$ , temos que:

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=2xcos(x^2+1).$$

Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’. Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fⁿ. Por exemplo, temos que:

$f^{\text{'}\text{'}}(x)=96x^2+30x-<!----->2$

se:

$f(x)=8x^4+5x^3-<!----->x^2+7$

pois:

$f^{\prime }(x)=32x^3+15x^2-<!----->2x$