CÁLCULO APLICADO - DERIVADAS

Revisando Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real

Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f′(x) é a nova função que, em um determinado ponto x, o valor da derivada, se o limite existir, é definido por:

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}$$

Assim, se o limite existe para x=a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a função f derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números do intervalo.

Exemplo: Determine $f^{\prime }(x)$ se $f(x)=x^{²}$

Solução: pela definição apresentada, $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}.$$

Como: $$\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}=2x+h,h\ne <!--\ne -->0,$$

Segue que: $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!----->f(x)}{h}=\underset{h\to <!--\to -->0}{lim}\frac{(x+h{)}^2-<!----->x^2}{h}=2x$$

Portanto, $f^{\prime }(x)=2x$.

Usando a notação tradicional $y=f(x)$ para indicar que a variavel independente é x, e y é a variável dependente, então $y^{\prime }\frac{dy}{dx}$ e $\frac{df}{dx}$ são consideradas notações alternativas quando consideramos a derivada de f em relação a x.

O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam em uma solução mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar recorrer à sua definição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras.

REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:

$${\left[x^n\right]}^{\prime }=n{x}^{n-<!----->1}.$$

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é uma função derivável, então:

$$[cf(x){]}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x).$$

REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:

$$f(x)+g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x).$$

REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com $g(x)\ne <!--\ne -->0$ , então:

$$[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$

REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:

$$[\frac{f(x)}{g(x)}],=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-<!----->f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$$

REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função composta $h=f\circ g$, definida por $h(x)=f(g(x))$ , será derivável em x, e h' será dada pelo produto:

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$$

Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:

$\frac{d}{dx}senx=cosx;$

$\frac{d}{dx}(cosecx)=-<!----->cosecxcotgx;$

$\frac{d}{dx}cosx=-<!----->senx;$

$\frac{d}{dx}(cotgx)=-<!----->cose{c}^{2}x;$

$\frac{d}{dx}tgx=se{c}^{2}x;$

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x;$

$\frac{d}{dx}secx=secxtgx;$

$\frac{d}{dx}(lnx)=\frac{1}{x}.$

Exemplos

Derive:

a) $h(x)=5\frac{1}{x^2}.$

b) $f(x)=e^{x}x.$

c) $F(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}.$

d) $h(x)=sen(x^2+1).$

Solução:

a) Pelas regras da constante e da potência: $$h^{\prime }(x)=5(\frac{1}{t^2}{)}^{\prime }=-<!----->\frac{10}{t^3}.$$

b) Pela regra do produto, temos: $$f^{\prime }(x)=(e^x{)}^{\prime }x+e^x(x{)}^{\prime }=e^{x}x+e^x.$$

c) Pela regra do quociente: $$F^{\prime }(x)=\frac{(2x+3{)}^{\prime }{x}^2+1-<!----->2x+3(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-<!----->2x^2-<!----->6x+2}{(x^2+1{)}^2}.$$

d) Pela regra da cadeia, considerando $f(x)=senx$ , temos que:

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=2xcos(x^2+1).$$

Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’. Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fⁿ. Por exemplo, temos que:

$f^{\text{'}\text{'}}(x)=96x^2+30x-<!----->2$

se:

$f(x)=8x^4+5x^3-<!----->x^2+7$

pois:

$f^{\prime }(x)=32x^3+15x^2-<!----->2x$

INGLÊS PARA REUNIÕES - FORMAL MEETINGS

 Olá Pessoal,

Continuamos nessa série sobre inglês para reuniões, com os seguintes tópicos ou conceitos chaves:

Básico:

• Reasons and Planning
• Contributing effectively
• Participating in the meeting
• Following up the meeting

Tópicos avançados:

• Chairing the meeting
• Intercultural Meetings
• Formal Meetings

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FORMAL MEENTINGS

Imagem criado por AI

    Meetings can be either formal or informal. The procedure is different and there are special phrases in formal meetings. However, the language that we use for discussion is similar in both formal and informal meetings.

    (As reuniões podem ser formais ou informais. O procedimento é diferente e há frases especiais em reuniões formais. No entanto, a linguagem que usamos para discussão é semelhante em ambos os tipos de reuniões.)

The chairman of the meeting needs to consider:

(O presidente da reunião precisa considerar:)

1. How to plan the formal meeting

(1. Como planejar a reunião formal)

    A meeting is usually planned by the chairperson and the secretary or by an adviser to the chairperson. There are several matters to consider:

    (Uma reunião geralmente é planejada pelo presidente e pelo secretário ou por um conselheiro do presidente. Há várias questões a serem consideradas:)

• Give notice of the meeting;

(Dar aviso da reunião)

• Decide and draft an agenda;

(Decidir e redigir uma pauta)

• Make sure there will be a quorum.

(Garantir que haverá quórum.)

2. Formal meetings procedure

(2. Procedimento de reuniões formais)

    Formal meetings follow a set procedure and have certain rules which should be followed. The procedures and rules mentioned here are those commonly used in a British context, and sometimes in American meetings.

    (Reuniões formais seguem um procedimento estabelecido e têm certas regras que devem ser seguidas. Os procedimentos e regras mencionados aqui são os comumente usados em um contexto britânico e, às vezes, em reuniões americanas.)

• The participants at a meeting might be required to reach a decision about something. One way of reaching decisions is to put forward a motion or proposal.

(Os participantes em uma reunião podem ser solicitados a tomar uma decisão sobre algo. Uma maneira de tomar decisões é apresentar uma moção ou proposta.)

• One participant puts forward a motion and a second participant might be required to support the proposal (second the motion).

(Um participante apresenta uma moção e um segundo participante pode ser solicitado a apoiar a proposta (apoiar a moção).)

• Amendments may be made to proposals before a vote is taken.

(Emendas podem ser feitas às propostas antes de uma votação.)

• A vote is then taken on the motion or proposal. Participants may vote for or against the proposal, or they may choose to abstain (not vote at all).

(Uma votação é então realizada na moção ou proposta. Os participantes podem votar a favor ou contra a proposta, ou podem optar por se abster (não votar de forma alguma).)

• If there are more votes for the motion than votes against it, the motion is carried (accepted).

(Se houver mais votos a favor da moção do que votos contra, a moção é aprovada (aceita).)

• If there are more votes against the motion than for it, the motion is rejected (not accepted).

(Se houver mais votos contra a moção do que a favor, a moção é rejeitada (não aceita).)

If a motion is rejected, another participant might put forward an amendment.

(Se uma moção for rejeitada, outro participante pode apresentar uma emenda.)

• Some formal meetings (for example, meetings of the shareholders of a company) allow these people to ask another person to vote at the meeting on their behalf. This is called voting by proxy or proxy voting.

(Algumas reuniões formais (por exemplo, reuniões de acionistas de uma empresa) permitem que essas pessoas peçam a outra pessoa para votar na reunião em seu nome. Isso é chamado de votação por procuração ou voto por procuração.)

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Chegamos ao fim dessa série, Inglês para reuniões. Espero que tenham gostado 👍

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Fonte: Sapiência & CENGAGE Learning

INGLÊS PARA REUNIÕES - INTERCULTURAL MEETINGS

 

 Olá Pessoal,

Continuamos nessa série sobre inglês para reuniões, com os seguintes tópicos ou conceitos chaves:

Básico:

• Reasons and Planning
• Contributing effectively
• Participating in the meeting
• Following up the meeting

Tópicos avançados:

• Chairing the meeting
• Intercultural Meetings
• Formal Meetings

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INTERCULTURAL MEETINGS

Imagem gerada por AI

    People from different cultures may approach meetings in different ways. Some of the areas of potential difference are:

    (Pessoas de diferentes culturas podem abordar reuniões de maneiras diferentes. Algumas das áreas de possível diferença são:)

• amount of time spent creating rapport before getting down to business

(• quantidade de tempo gasto para criar rapport antes de entrar nos assuntos de negócios)

• procedure of the meeting

(• procedimento da reunião)

• attitude to time (punctuality, deadlines)

(• atitude em relação ao tempo (pontualidade, prazos))

• acceptance of interruptions during a meeting

(• aceitação de interrupções durante uma reunião)

• decision making (who makes the decision and whether a decision is expected)

(• tomada de decisões (quem toma a decisão e se uma decisão é esperada))

• attitude to risk and change

(• atitude em relação ao risco e à mudança)

• attitude to women at meetings

(• atitude em relação às mulheres em reuniões)

• body language and gesture

(• linguagem corporal e gestos)

• forms of address

(• formas de tratamento)

• levels of formality in speech and clothes.

(• níveis de formalidade na fala e na vestimenta.)

Research

(Pesquisa)

Do as much research as you can into other relevant cultures and their approach to meetings.

(Faça o máximo de pesquisa possível sobre outras culturas relevantes e sua abordagem em reuniões.)

When you do your research, concentrate on the areas listed on the previous page.

(Ao fazer sua pesquisa, concentre-se nas áreas listadas na página anterior.)

Approach

(Abordagem)

    It is important in intercultural meetings that one culture does not impose its way of approaching meetings on others. The best strategy is to have open and honest discussion about the different approaches.

    (É importante em reuniões interculturais que uma cultura não imponha sua maneira de abordar as reuniões aos outros. A melhor estratégia é ter uma discussão aberta e honesta sobre as diferentes abordagens.)

1. Agree first of all on the desired outcome of the meeting.

(1. Concordar primeiro com o resultado desejado da reunião.)

2. Then, discuss the different ways of reaching your objectives.

(2. Em seguida, discuta as diferentes formas de alcançar seus objetivos.)

3. Agree on the best way to achieve the objectives.

(3. Concordar sobre a melhor forma de alcançar os objetivos.)

Task and Process

(Tarefa e Processo)

    In all meetings, it is important to discuss the way in which you are going to do things but it is especially important in intercultural meetings where strategies and approaches may differ, where there may be differences in the use of English and when people may be suspicious of different approaches.

    (Em todas as reuniões, é importante discutir a maneira como você fará as coisas, mas é especialmente importante em reuniões interculturais, onde as estratégias e abordagens podem ser diferentes, onde pode haver diferenças no uso do inglês e quando as pessoas podem desconfiar de abordagens diferentes.)

You need to take special steps to ensure that:

(Você precisa tomar medidas especiais para garantir que:)

1. Everyone knows and agrees on the objectives of the task

(1. Todos saibam e concordem com os objetivos da tarefa)

- Agree on success criteria: How are we going to measure the success of the meeting?

(- Concordar com critérios de sucesso: Como vamos medir o sucesso da reunião?)

- Set deadlines: What's the deadline for this? When do we need to have this ready?

(- Estabelecer prazos: Qual é o prazo para isso? Quando precisamos ter isso pronto?)

- Agree on the objectives: Can we clarify what the outcome of this meeting should be?

(- Concordar com os objetivos: Podemos esclarecer qual deve ser o resultado desta reunião?)

- Assign roles and responsibilities: Who's going to be responsible for...?

(- Atribuir papéis e responsabilidades: Quem será responsável por...?)

2. Everyone agrees on the process necessary to achieve these:

(2. Todos concordam com o processo necessário para alcançá-los:)

- Involve all the participants: Can we all think about this for a minute?

(- Envolva todos os participantes: Podemos todos pensar nisso por um minuto?)

- Create a positive atmosphere: Are there any other ways in which we could approach this?

(- Crie uma atmosfera positiva: Existem outras formas de abordar isso?)

Modifying your language

(Modificando sua linguagem)

    In an intercultural meeting, it may be necessary to modify your use of English to ensure that everyone understands everything. You can do this by:

    (Em uma reunião intercultural, pode ser necessário modificar o uso do seu inglês para garantir que todos entendam tudo. Você pode fazer isso:)

- Using clear, simple language

(- Usando uma linguagem clara e simples)

- Avoiding long complicated sentences

(- Evitando frases longas e complicadas)

- Speaking more slowly than usual

(- Falando mais devagar do que o normal)

- Avoiding the use of idioms and colloquial language

(- Evitando o uso de expressões idiomáticas e linguagem coloquial)

- Clarifying what you have said

(- Esclarecendo o que você disse)

- Checking your own and other people's understanding

(- Verificando a compreensão sua e dos outros)

- Asking a lot of questions

(- Fazendo muitas perguntas)

- What has been said.

(- O que foi dito.)

Be aware of body language and gesture

(Esteja atento à linguagem corporal e aos gestos)

    Nonverbal communication can be very important in intercultural meetings. Try to modify your use of gesture. Find out if there is anything you should be aware of when meeting with people from other cultures.

    (A comunicação não verbal pode ser muito importante em reuniões interculturais. Tente modificar o uso dos gestos. Descubra se há algo com o que você deve estar ciente ao se reunir com pessoas de outras culturas.)

Find out about other cultures

(Descubra sobre outras culturas)

    There are a number of useful books outlining the results of research into other cultures and their attitudes to business meetings. You may like to attend a course about a specific culture with which you deal. Embassies are a good source of practical information.

    (Há uma série de livros úteis que apresentam os resultados de pesquisas sobre outras culturas e suas atitudes em relação a reuniões de negócios. Você pode gostar de participar de um curso sobre uma cultura específica com a qual você lida. Embaixadas são uma boa fonte de informações práticas.)

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Espero que tenham gostado, em breve trago o próximo tópico👍

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Fonte: Sapiência & CENGAGE Learning